发布日期：2026-01-27 03:03 点击次数：135
这是一次数学表面与操办机算力聚拢的得胜。
遐想一下，要是咱们的天外老是被一层厚厚的不透明云层所避开，既看不见星星，也无法从上方俯视咱们的星球，咱们还能发现地球是圆的吗？
谜底是肯定的。通过测量大地上特定的距离和角度，咱们就能肯定地球是一个球体，而不是平面或者甜甜圈状。即使莫得卫星像片也能作念到。
数学家们发现，这种情况在更大齐的二维曲面中也往往成立：只需要曲面上相对极少的局部信息，就足以推断出其合座形态，也等于由局部独一肯定合座。
但是在某些例外情况下，这些有限的局部信息可能对应着不啻一种曲面。在曩昔的 150 年里，数学家们一直在竭力于整理这些特例：即那些泛泛只可界说一种曲面，实践上却描述了多种曲面的局部测量数据。但他们能找到的独一例外并不是像球体或甜甜圈那样规整、封锁的曲面。违反，这些曲面要么向某个标的无限延长，要么领有某种「边际」。
莫得东谈主能找到一个马虎这一规则的封锁曲面，似乎根底就不存在这么的特例。也许，这类曲面老是不错通过惯例的局部信息被独一肯定。
如今，数学家们终于发现了一个寻觅已久的特例。在前年 10 月发表的一篇论文中，三位磋商东谈主员，包括柏林工业大学的 Alexander Bobenko、慕尼黑工业大学的 Tim Hoffmann 以及北卡罗来纳州立大学的 Andrew Sageman-Furnas，描述了一双相当诬蔑的封锁曲面，它们诚然领有调换的局部信息，却具有统统不同的全局结构。
论文标题：Compact Bonnet pairs: isometric tori with the same curvatures
论文地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z
这一发现破钞了该团队数年的勤苦、几台因运算过热的条记本电脑，以及一个来自几何学看似无关规模的不测足迹。
几何学中的异类
数学家们有各式种种的方法来局部地描述一个曲面，但其中两种尤为有效。
其中一种方法捕捉的是对于曲面「外皮」曲率的信息，即在曲面上任选一丝，你不错沿着无限多的标的操办曲面在空间中的周折进程，也等于所谓的曲率。只温雅那些能得到最大和最小曲率值的标的，然后取这两个值的平均数，得到的数值被称为「平均曲率」。你不错操办曲面上即兴给定点的平均曲率，从而更好地贯通它是如何置于周围空间之中的。
另一种测量方法捕捉的是对于曲面「内蕴」曲率的信息，这是一种不依赖于曲面地点外部空间的几何属性。试想一张平整的纸，你不错把它卷成圆柱管而无须拉伸或扯破它。要是纸上两点之间由一条弧线运动，那么这条弧线在圆柱上的长度将保握不变。这意味着这张纸和圆柱体领有调换的「度量」，即距离的观念。
但要是你试着把这张纸包在球体上，情况就不再是这么了。你不得不拉伸、剪开或弄皱这张纸，点与点之间的弧线长度也会随之更正。因此，这两个曲面领有不同的度量。
1867 年，法国数学家 Pierre Ossian Bonnet 讲授，要是你知谈一个曲面上每一丝的度量和平均曲率，泛泛就足以肯定该曲面的形态。天然，仅仅「泛泛」。但「泛泛」并不代表「老是」，恰是这种不肯定性让数学家们心痒难耐。
Pierre Ossian Bonnet
在 Bonnet 提议证色泽的 150 年间，数学家们发现了各式顽抗这一规则的曲面。这些曲面领有调换的度量和平均曲率，却不具备调换的全局结构。
但所有这些曲面齐属于数学家口中的「非紧致」曲面。它们不像球体、甜甜圈以偏激他「紧致」曲面那样能够齐备地闭合。违反，非紧致曲面可能向某个标的无限延长（如平面或圆柱面），或者领有短暂中断的边际（如同从一个更大的体式上裁下来的一块）。
紧致曲面受到的扬弃则更多，它们必须安闲各式阻挡条款，才调自身反转并齐备闭合。因此，认为它们大约能被其度量和平均曲率独一肯定，似乎是稳妥原理的猜测。
1981 年，数学家 Blaine Lawson 和 Renato de Azevedo Tribuzy 讲授，对于球体及任何与其拓扑等价的曲面，即任何莫得孔洞的紧致曲面。这一猜测确乎成立。
而当波及到带有一个孔洞的紧致曲面（即拓扑学上的「环面」，访佛于甜甜圈）时，情况多了一丝回旋余步。数学家们讲授，给定的度量和平均曲率最多只可对应两个不同的环面。
但是，从来莫得东谈主找到过这种「紧致 Bonnet 对」的实例。因此在几十年间，真钱投注app官网学界大齐认为环面与球体一样，给定的度量和平均曲率只可界说独一的环面。
「很长一段时候里东谈主们齐对此战胜不疑，」杜克大学的 Robert Bryant 说谈，「因为他们造不出任何反例。」
但是，他们错了。
像素化的寰宇
曩昔 20 年里，Alexander Bobenko 一直在啃那些「数学甜甜圈」。21 世纪初，他曾试图讲授紧致 Bonnet 对确乎存在。但当他意志到这个问题绝非几个月就能搞定时，便将其暂时放置，转而专注于他认为能更快得回发达的问题。
他转向了一个看似与 Bonnet 问题绝不联系的数学规模，但这恰恰成了最终解开谜题的要道。
Bobenko 出手念念考「破裂」曲面，这有点像是光滑曲面经过像素化处理后的低辞别率版块。数学家之是以磋商破裂曲面，是因为它们不仅自身具有缺欠的几何性质，况兼在操办机科学、物理学、工程学等规模也有着平凡的实践应用。
要构建一个破裂曲面，需要中式有限数目的点，并用线段将它们运动起来，形成一个由平面组成的体式。通过选择不同的点，不错用不同的口头来暗示磨灭个光滑曲面。举例，底下等于几种暗示球体的口头：
有些破裂曲面能比其他的更好地进行表征。近二十年来，Bobenko 和他的耐久合营伙伴 Tim Hoffmann 一直竭力于建立一套表面，旨在应用破裂曲面尽可能保留光滑曲面最显耀的几何特征。
2010 年代，其时照旧哥廷根大学博士生的 Andrew Sageman-Furnas 加入了这项职责，并将 Bonnet 问题再行带回了推敲之中。
{jz:field.toptypename/}Sageman-Furnas 对渔网等编织材料的力学机制很感有趣有趣，这些材料实质上等于破裂曲面，这也眩惑他进入了破裂数学规模。在此历程中，他提议了 Bonnet 问题的一个破裂版块：局部信息在什么情况下能独一肯定一个破裂曲面，又在什么情况下不成？
通过退换一种已知的生成 Bonnet 定理反例的方法，Sageman-Furnas 与他的导师 Max Wardetzky 以及 Hoffmann 沿途，找到了一套在破裂情形下构叛逆例的「配方」。
与光滑情形一样，这些反例也总口角紧致的。但由于破裂曲面并不包含无限多个点，因此应用操办机对其进行磋商是可行的。Sageman-Furnas 不禁遐想，投注平台是否可能应用操办机的「暴勤苦解」法，在破裂几何的寰宇里找到一双紧致 Bonnet 对？要是确乎如斯，那么破裂情形大约也能为搞定光滑情形下的问题指明标的。
于是，他算作 Bobenko 磋商组的博士后磋商员来到柏林，加入了 Bobenko 和 Hoffmann 的行列，并入辖下手开展职责。
曲面探寻之旅
2018 年春，Sageman-Furnas 出手通过操办机搜寻一种非常的曲面，这种曲面不错被升沉为一个 Bonnet 对，就像是用「老面」算作基底能烘焙出各式不同的面包一样。这个算作「前言」的曲面，访佛于他读研时间用来构建破裂 Bonnet 对的那些曲面。但这一次，他要求它必须是一个环面。也等于说，它必须是紧致的，且带有一个或多个孔洞。
Hoffmann 回忆称，Sageman-Furnas 淹没了数周，甚而可能数月。当这位年青的数学家终于再次现身时，他找到了他一直在寻觅的东西：一个长满尖刺的体式，与其说像环面，倒不如说更像是一只折纸犀牛。
「犀牛」。
但它确乎是一个环面。凭证 Sageman-Furnas 的操办机格式，它具备生成 Bonnet 对所需的所有其他属性。更缺欠的是，当 Sageman-Furnas 在操办机上生成这些 Bonnet 对时，它们也齐是环面。从犀牛体式到 Bonnet 对的变换似乎并莫得将犀牛体式诬蔑成非紧致曲面。这些曲面永久保握紧致。
「当你出手进行操办探索和野心时，」Sageman-Furnas 说谈，「你不错得到一些远超出你遐想的新例子。」
但这会不会好得令东谈主难以置信？操办机格式会产生舍入舛讹：Sageman-Furnas 的犀牛体式可能看起来符合所需的行为，它生成的 Bonnet 对也可能看起来是环面，但这齐可能仅仅假象，是轻飘操办舛讹形成的假象。要是莫得严格的讲授，数学家们无法肯定。
「他来了，给咱们展示了一些看起来很奇怪的几何物体，看起来很像是数值操办产生的垃圾，」Bonnet 说。「开打趣地说，我对通盘神色最珍重的孝顺可能等于其时我说了一句：『我见过更恶运的。』」
Andrew Sageman-Furnas（左）、Tim Hoffmann（中）和 Alexander Bobenko（右）构建了一双新的体式，从而搞定了一个耐久存在的预见。
诚然花了一些时候，但 Hoffmann 和 Sageman-Furnas 最终确信这个「犀牛」体式值得负责磋商。要是能够找到这么一个破裂的 Bonnet 对的例子，那么光滑曲面的情况大约也并非毫无但愿。Hoffmann 和 Sageman-Furnas 在阿谁夏天里仔细磋商这个犀牛体式，寻找足迹，随机一次视频通话就长达八到十二个小时，寻找可能有助于他们收缩光滑 Bonnet 环面搜索范畴的非常性质和几何阻挡。
到了九月，他们终于找到了一个相当有但愿的新足迹，这让 Bobenko 再行参加到他几十年前烧毁的这个问题中。
闭合环路
足迹与沿着犀牛边际环绕的特定线条干系。
这些线条已知不错提供对于犀牛曲率的缺欠信息 —— 描述出它周折和折叠进程最大和最小的标的。由于犀牛是一个存在于三维空间中的二维名义，数学家们底本瞻望这些线条也会在三维空间中勾画前阶梯。但实践上，它们老是位于平面或球面上。这些成列如斯适值的可能性聊胜于无。
「这让咱们认为一定有什么超过的事情正在发生，」Sageman-Furnas 说谈。这太不可念念议了。
与破裂名义不同，光滑名义莫得边际。但你仍然不错绘图「曲率线」，描述出最大和最小周折的旅途。Sageman-Furnas、Bobenko 和 Hoffmann 决定寻找一个光滑的犀牛类比物，其曲率线通常被扬弃在平面或球面上。也许一个具有这些特色的开动名义不错产生光滑的 Bonnet 环面。
但这么的名义是否存在尚不判辨。
然后博本科意志到，一个多世纪前，法国数学家让・加斯顿・达布就险些也曾提议了数学家们现时需要的东西。
达布提议了生成具有正确曲率线的名义的公式。问题是，他的公式无法生成闭合的曲率线。违反，它们「看起来像螺旋线，并延长到无限远，」Bobenko 说。「不可能让它们闭合。」这意味着诚然曲率线可能位于平面和球面上，但通盘名义不会是环面。
经过多年的努力，数学家们 —— 聚拢使用纸笔和操办实验 —— 终于找到了如何退换达布的公式，使曲率线闭合。他们终于找到了光滑的犀牛类比物，尽管两者看起来并不太相似。
此外，正如他们所但愿的那样，这个光滑的犀牛不错生成一双新的环面，它们具有调换的平均曲率和度量数据，但合座结构不同。该团队最终找到了 Bonnet 问题的谜底：某些环面最终无法通过其局部特征独一肯定。但是，当他们弄判辨这对 Bonnet 曲面究竟长什么样时，他们发现这两个环面互为镜像。「从时候上讲，这不成问题，」Sageman-Furnas 说谈。「从局面上讲，它搞定了问题。」但他补充说，这仍然令东谈主不惬意。
因此，在接下来的一年里，他们尝试以各式口头退换他们的光滑犀牛曲面。最终，他们意志到，要是烧毁其中一组曲率线必须位于球面上的要求，他们就不错构建一个新的光滑犀牛曲面，从而达到他们的主张。然后，他们应用这个曲面生成了一双新的 Bonnet 曲面 —— 这一次，是两个相当诬蔑的环面，它们显然是不同的曲面，但仍然具有调换的度量和平均曲率。
该团队最终找到了紧凑型 Bonnet 曲面的一双实例。
这一效果令 UMass Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）的数学家 Rob Kusner 感到骇怪。他暗示，这标明即使是环面 —— 一些最好意思不雅、磋商最彻底的曲面 —— 也并非总能用其局部特征齐备描述。
「这是一个咱们的直观不够用的例子，」杜克大学的数学家 Bryant 说谈。
不外，数学家们发现的这两个环面有点奇怪：它们像数字「8」一样自身相交。Bobenko 现时但愿讲授存在不与自身相交的 Bonnet 环面。
Bonnet 环面的发现是对 Bobenko 和 Hoffmann 数十年来在破裂曲面磋商方面职责的有劲考证。传统上，光滑体式的几何学发展速率更快，而破裂几何学的表面发展相对滞后。但在这项职责中，破裂表面得回了突破性发达，并最终促成了光滑曲面方面的发达。
Hoffmann 认为，这杰出标明：诚然破裂曲面看起来像是其光滑对应物的简化模子，但它们领有自身的数学人命。破裂寰宇不错像光滑寰宇一样丰富，甚而愈加丰富，揭示出一些可能被忽略的独特对称性和预计。
「东谈主们似乎健忘了破裂方面的磋商，」Hoffmann 说谈。「但咱们仍然不错从中有所成绩。」
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